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骰子模型中和概率的計算研究分析

來源: 樹人論文網 發表時間:2020-08-27
摘要:概率論中的骰子模型在許多領域有著重要的應用,本文研究投擲多次骰子時,點數之和的概率計算問題.應用生成函數法得上述問題簡潔的概率計算公式,并考慮它的推廣情形,最
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  摘要:概率論中的骰子模型在許多領域有著重要的應用,本文研究投擲多次骰子時,點數之和的概率計算問題.應用生成函數法得上述問題簡潔的概率計算公式,并考慮它的推廣情形,最后給出幾個計算的例子.

牡丹江師范學院學報

  本文源自牡丹江師范學院學報(自然科學版),2020(03):7-9+74.《牡丹江師范學院學報》(自然科學版)(季刊)創刊于1975年,是由黑龍江省教育廳主管、牡丹江師范學院主辦、國內外公開發行的綜合性學術期刊(季刊)。主要欄目:數學、物理、化學、生命科學、黑龍江省農林研究、地理科學、計算機理論及應用、體育理論研究、教育理論研究等欄目。本刊堅持社會主義辦刊方向,貫徹黨的“百花齊放,百家爭鳴”方針,堅持嚴謹科學,求實創新,大膽探索的辦刊方針,鼓勵理論和經驗研究相結合的學術取向,提倡學術批評和交鋒。

  骰子模型有著廣泛的應用.[1,2,3,4]蘇有菊和魏首柳應用列舉法、生成函數方法、母函數法、組合數法給出了投擲次數為2次或3次,點數之和為7或9時概率的具體計算例子.[5,6]本文將對生成函數法展開深入探討,給出一個結構優美的計算公式,進一步給出任意面體的推廣“骰子”,在n次投擲后的點數之和為m的概率計算公式.

  1、主要結論

  假設一個傳染源在一個周期內傳染的個體數可能是1個、2個直到6個,且假設等可能的,即每個概率均為.n個這樣的傳染源在一個傳染周期內,有m個個體被傳染上的概率是多少?這個問題可以被抽象為一個骰子被投擲n次,點數之和為m的概率.這是一種在傳染病傳播研究中一種非常有用的短期模型———骰子模型.應用生成函數和冪級數展開,給出n次投擲骰子過程中點數之和概率計算的一個簡潔定理,并考慮它的推廣情形.

  定理1設有一個均勻的骰子,對其投擲n次,得到點數之和為m的概率為

  其中m-n-6a≥0,a滿足不等式的最大非負整數.

  1. 證明首先,構造一個多項式的n次方,m次方項的系數即為在n次投擲過程中,點數之和為m的組合數.

  對最后一項應用冪級數展開得

  在n次的投擲實驗中,出現的次數為m,分成以下情況討論:

  2. 第一項取xn,第二項取Cn1(-x6)1,第三項取

  3. 第一項取xn,第二項取Cn2(-x6)2,第三項取

  綜合1,2,3,4所得到的結論,可以看出次數為m的組合數為

  其中,m-n-6a≥0.a滿足不等式的最大非負整數.

  按古典概型的計算公式,其概率為該組合數除以樣本點總數.點數m為的概率為:

  定理2設有一個k個面的均勻的骰子,對其投擲n次,得到點數之和為m的概率為,其中m-n-ka≥0,a滿足不等式的最大非負整數.

  證明類似定理1,此處不再贅述.

  2、數值例子

  例1設3次投擲骰子,點數和為9的概率.[5]

  解m=9,n=3,9-3-6a≥0,a的取值為1,

  例2設3次投擲骰子,點數和為8的概率.[6]

  解m=8,n=3,8-3-6a≥0,a的取值為0,

  例3設3次投擲骰子,點數和為7的概率.[5]

  解m=7,n=3,7-3-6a≥0,a的取值為0,

  上述結論與文獻[5,6,7]中完全一致.

  參考文獻:

  [1]李光正.從隨機試驗到隨機過程的概念演化[J].牡丹江師范學院學報:自然科學版,2014(4):7-9.

  [2]劉常彪,李臻臻.關于泊松分布高階矩的一些研究[J].牡丹江師范學院學報:自然科學版,2014(2):5-6.

  [5]蘇有菊.論概率論與數理統計中“骰子”問題的概率[J].普洱學院學報,2017,33(6):21-23.

  [6]魏首柳.概率論與數理統計中“骰子”問題的概率探討[J].南陽師范學院學報,2011,10(3):18-20.

  [7]屈婉玲,耿蘇云,張昂立.離散數學[M].北京:清華大學出版社,2008.56-72.

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